FAQ - Astronomische Berechnungen

Parabeln als Näherung

Wenn Du darauf verzichtest genaue Rechnungen durchzuführen, kannst Du deine Kometen auch durch reine Parabeln darstellen. Das ist im Prinzip falsch, da sich die Kometen auf sehr langestreckten Ellipsen bewegen, doch in Sonnen (und damit) auch in Erdnähe) lassen sich die Bahnen durch Parabeln annähern. im Gegensatz zur Ellipse kann man den Ort in Abhänigkeit von der Zeit mit einer Formel darstellen:

SQRT:Wurzel,
SQRT3: dritte Wurzel wobei fuer x<0 gilt sqrt3(x)=-sqrt3(-x)
z.B. sqrt3(-27) = -3

Mit  A = 1.5*sqrt(G*(M+m)/(2*q*q*q))*(t-to)

wa=sqrt3(sqrt(A*A+1)+A) - sqrt3(sqrt(A*A+1)-A)

Kartesische Koordinaten:
x= q*(1-wa*wa);
y= 2*q*wa

q: minimaler Abstand Komet-Sonne (Periheldistanz)
G = 2.959122083e-4;
M = Masse der Sonne = 1;
m = Masse des Kometen = 0;
t = Zeit in Tagen
to= Zeitpunkt der groessten Annaeherung an die Sonne

Die Erde kannst Du auch einzeichnen, wir aproximieren ihre Bahn als Kreisbahn:

x = 1*cos(2*pi*t/365.25);
y = 1*sin(2*pi*t/365.25);

Dann sieht es auf dem Bildschirm etwa so aus, wie wenn ein Komet in der Erdbahnebene vorbeizieht. Die Wirklichkeit ist aber 3-Dimensional, auch beeinflussen dieser Näherung die Erde den Komenten nicht, auch wenn der noch so nahe an Ihr vorbeizieht. Falls Du den Ehrgeiz verspürst genauer zu rechnen, kannst Du das Mehrkörperproblem numerisch lösen, wie im Pascal Programm oder Dich eingehender mit Ephemeriden- rechnung beschäftigen. Dann kommst Du nicht darum herum Dir Bücher in einer grösseren Bibliothek (UNI, TU) auszuleihen.

Literatur:
   Oliver Montenbruck, Ephemeridenrechnung,
   Verlag Sterne und Weltraum, 1984
   (Nur Formeln, keine Programme)

   Oliver Montenbruck, Thomas Pfleger
   Astronomie mit dem Personal Computer
    2. Auflage, Springer Verlag
   (Buch mit Diskette mit Pascal-Quelltexten)

   Kartesische Orts- und geschwindigkeits-
       Vektoren der Planeten als input fuer das
   Mehrkoerperprogramm:
       THE ASTRONOMICAL ALMANACH
   des laufenden Jahres
   (Astronomie-institut einer Uni in der Naehe fragen
        oder Bibliothek einer Uni)  

Das Mehrkörperproblem

Wenn Du viele gleichberechtigte Körper berücksichtigen möchtest, die sich alle gegenseitig beeinflussen, musst Du das Gravitationsgesetz direkt numerisch integrieren, d.h. Zeitschritt für Zeitschritt ausrechnen. Dann kannst Du auch einen Kometen z.B. nahe an Jupiter vorbei fliegen lassen und sehen wie sich seine Bahn ändert.

Wir wollen also das Mehrkörperproblem numerisch lösen Das geht etwa wie folgt:

sqr(x) = x*x;
sqrt(x) = Wurzel(x)
abs(r) = sqrt(Rx*Rx + Ry*Ry + Rz*Rz)

Ein Körper im durch die Koordinaten (x,y,z) beschriebenen Raum sei zum Zeitpunkt t am Ort Ro = (Rox,Roy,Roz) und bewege sich mit der Geschwindigkeit Vo=(Vx,Vy,Vz), auf Ihn wirke die Beschleunigung a = (Ax,Ay,Az). Dann ist sein Ort nach der Zeit dt

R(t+dt) = Ro + Vo*dt + A*0.5*dt*dt vektoriell also
Rx = Rox + Vox(t-to) + 0.5*ax*dt*dt, analog fuer y und z,

V(t) = Vo + A*dt

Die Idee ist nun, dass für ein Körper im Sonnensystem die Beschleunigung a die auf Ihn wirkt für eine kurze Zeit konstant ist: Also
-- Berechne für jeden Körper die Kraft A(Ro)
-- Berechne für jeden Körper den Ort R(t) und die Geschwindigkeit V(t)
-- berechne für jeden Körper A für den neuen Ort
-- und so weiter

Wie berechnet man A?

Wir haben n Körper an den Orten R1...Rn (Vektoren), sie haben die Massen M1..Mn ri sei der Ort des Körpers für den wir die Beschleunigung haben wollen: d1..dn seinen die Distanzen der anderen Körper zu unserem Körper

z.B. D1 = abs(R1 - Ri);
Ai = G*( (M1*(ri-r1)/(D1*D1*D1) + M2*(R2-Ri)/(D2*D2*D2)
     + ... + Mn*(Rn-Ri)/(Dn*Dn*Dn)

G ist die Gravitationskonstannte, G = 6.67E-11; Dann musst Du die Massen in kg und die Distanzen in Meter und die Zeit in Sekunden nehmen, besser ist jedoch, wenn Du astronomische Einheiten nimmst, also die Zeit in Tagen, die Distanz in Abstand Sonne- Erde (=1 AE) und die Masse in Sonnenmassen misst, dann ist G = 2.959122083E-4. Zum über kannst Du ja mal die Erde sich um die Sonne drehen lassen.
Anfangsbedingungen bei t=0 wären dann:

M1=1, R1x=R1y=V1x=V1y=0 (Sonne)
M2=1/329000, R2x=1,R2y=0;V2x=0,V2y:=2*3.14159/365.25=0.0172.

Das sollte dann einen schönen Kreis geben. Schrittweite dt<1, sonst wird der Fehler, den man mit diesem Näherungsverfahren macht zu gross.

Ich habe mal früher (im Gymnasium) das in Pascal programmiert (hier den Sourcecode): Obiges Verfahren stellt die primitivste mögliche Art der Lösung dar. Profis verwenden dazu sogenannte Runge-Kutta-Verfahren. Sein Vorteil: dt kann grösser gemacht werden.

Anm: Versuch bei der zweiten Anweisung im Hauptprogram: InitGraph(GM,GD,'C:\bp\bgi'); den Pfad C:\bp\bgi der bgi - Grafiktreiber entsprechend Deiner Filestruktur anzupassen.

P2 = 6.28318.. ( =  2*pi)

M  = P2 * frac(0.993133+99.97361*T)
DL = 6893.0 * sin(M) + 72.0*sin(M+M)
L  = P2 * frac(0.7859453 + M/P2 + (6191.2*T +DL)/1.296e+6)
X  = cos(L)
Y  = 0.91748*sin(L)
Z  = 0.39778*sin(L)
r  = sqrt(1.0 - Z*Z)
Deklination   = (360/P2)*arctan(Z/r), in Gradmass
Rektaszension = (48.0/P2)*arctan(Y/(X+r)), 
                 in Stunden, falls < 0 muss man 24 Stunden hinzu addieren.

Literatur:

Oliver Montenbruck, Thomas Pfleger
Astronomie mit dem Pesonal Computer

Die Zeitspanne von Vollmond zu Vollmond beträgt 29.53 Tage (synodischer Mondmonat). Dreizehn Vollmonde haben wir somit nach 12*29.53 = 354.36 Tagen. Das Jahr umfasst gemäss dem Gregorianischen Kalender 365.2425 Tage. Bleiben also noch etwa 10.8 Tage als Toleranz übrig. Anders ausgedrückt: Der erste Vollmond des nächsten Jahres findet 18.6 Tage früher statt.

Ein Jahr zählt dreizehn Vollmonde, wenn der erste Vollmond des Jahres auf den 1. bis 11. Januar fällt. Jahre, welche diese Bedingung erfüllen und somit dreizehn Vollmonde umfassen sind:

Sa  2. Jan 1999,  2:49.5
Tu  9. Jan 2001, 20:24.4
We  7. Jan 2004, 15:40.1
We  3. Jan 2007, 13:57.2
Su 11. Jan 2009,  3:26.6
Mo  9. Jan 2012,  7:29.9
Mo  5. Jan 2015,  4:53.0
Tu  2. Jan 2018,  2:23.8
Fr 10. Jan 2020, 19:21.0
Fr  6. Jan 2023, 23:07.6
Sa  3. Jan 2026, 10:02.5

In 27 Jahren gibt es also 11 Jahre mit 13 Vollmonden, das sind ungefähr alle 2.5 Jahre einer - also nicht besonders selten. (Daten aus calsky.astroinfo.org.)

Im englischen Sprachgebrauch gibt es hierfür die Bezeichnung "Blue Moon", welche den zweiten Vollmond innerhalb desselben Kalendermonats meint.

Die Schwerkraft eines Himmelskörpers ist proportional zu seiner Masse M und nimmt mit dem Quadrat der Entfernung r zum Massenmittelpunkt ab. Die Beziehung für die Gravitationskraft, welche zwei Körper aufeinander ausüben, ist in Formel (1) wiedergegeben. Die Gravitationskonstante G ist eine Naturkonstante und beträgt 6.67·10^-11 Nm²/kg³. Die Gravitation wirkt stets anziehend. Zur Vereinfachung der Rechnung denken wir den Himmelskörper als eine Kugel mit homogener Dichte.

Zum Vergleich erst mal die Erde: Die mittlere Dichte beträgt 5520 kg/m³ und der mittlere Radius 6.37·10⁶ m. Gemäss (2) berechnet sich daraus die Masse der Erde zu etwa 5.98·10²⁴·kg. Ein Mensch mit einer Masse m von 70 kg wiegt auf der Erdoberfläche demnach 688 N.

Welche Anfangsgeschwindigkeit braucht ein Mensch, wenn er auf der Erde einen Meter vom Stand aus in die Höhe springen will? Die Antwort hierauf finden wir bei (3): 4.43 m/s (16 km/h).

Verspürt man den Wunsch, in eine Erdumlaufbahn eintreten zu wollen, und weiss nicht, auf welche Zahl die Nadel auf dem Tachometer eines BMW zeigen soll, gibt hier (4) Aufschluss: 7910 m/s (28 500 km/h) - das ist nicht mal auf deutschen Autobahnen erlaubt. Dies wird Kreisbahngeschwindigkeit genannt, oder im Falle der Erde 1. Kosmische Geschwindigkeit. Beschleunigt man weiter auf 11200 m/s, so verlässt man das Schwerefeld der Erde und tritt in eine Parabelbahn ein (5). Im Falle der Erde sagt man dazu auch 2. Kosmische Geschwindigkeit.

Wie gross und schwer darf also ein Himmelskörper sein, ohne dass man zu Fuss gleich in eine Kreisumlaufbahn gerät oder sich mit einem kleinen Sprung abstossen kann? Die Lösung des Problems findet man, wenn man die Formeln (4) und (5) nach den gesuchten Grössen M und r auflöst. Wählen wir als Parabelbahngeschwindigkeit v_p den in Formel (3) errechneten Wert von 4.43 m/s. Aus (2) und (5) erhält man:

Wählen wir zum Beispiel einen Asteroiden mit derselben Dichte wie die Erde, so erhalten wir einen Radius von 2520 m. Ein Kern eines Kometen, besteht vorwiegend aus Eis, gefrorenen Gasen und Staubpartikel. Die Dichte eines Kometenkerns beträgt ungefähr 1000 kg/m³. Ein solcher Kern muss mindestens einen Radius von 6 km besitzen, um unsere Anforderungen erfüllen zu können. Um in eine Kreisbahn um den Kometen eintreten zu können muss ein Astronaut mit 3.17 m/s (11.4 km/h) geradeaus rennen, ist zu Fuss noch zu schaffen. Obwohl der Astronaut auf dem Kometen nur eine Gravitationskraft von 0.12 N verspürt, bleibt seine Massenträgheit entsprechend von 70 kg erhalten. Wenn der Astronaut sich also ganz sorgfältig bewegt, bleibt er im Schwerefeld des Kerns.

Zeitgleichung in Sekunden =  -106.5 * sin(L) + 596.1 * sin(2*L) +    
                             +4.4*sin(3*L) - 12.7*sin (4*L) 
                             - 428.8*cos(L) - 2.1*cos(2*L) + 19.3*cos(3*L)

wobei L = 279.434 + 0.985647*d die mittlere Lange der Sonne in Grad ist.
d ist dabei die Nummer des Tages im Jahr
d = 1 fuer den 1. Januar
d = 2 fuer den 2. Januer
:
d = 32 fuer den 1. Februar
:
usw.

>T=(PI()-ACOS(TAN(N*SIN(2*PI()*(D)/364,25)*PI()/180)*TAN(B/180*PI())))/PI()
>
>N: Neigung (23°27')
>D: Tag im Jahr (1.Jan = 1)
>B: Breitengrad
>

        Oliver Montenbruck, Thomas Pfleger
        Astronomie mit dem Personal Computer
        2. Auflage
        Springer-Verlag
        ISBN 3-540-57701-7
        mit Diskette (Turbo-Pascal)

Leuchtkraft (unsere Sonne:=1) = 10 hoch (0.4*(4.84 - M))

z.B. für Altair mit M = 2.3 folgt Leuchtkraft = 10.4 x stärker als unsere Sonne, d.h. in 1 AE = 149.5 Mio. km hätten wir eine Solarkonstante 14'000 Watt pro Quadratmeter Einstrahlung, was etwa Merkur entspricht. Die Strahlungsintensität nimmt quadratisch mit dem Abstand ab, d.h. in Wurzel(10.3) = 3.22 AE = 482 Mio. km Distanz von Altair entspricht dann erdähnlichen Verhältnissen.

• Jedes Jahr, das eine ohne Rest durch 4 teilbare Jahreszahl hat, ist ein Schaltjahr, ausser
• die Jahreszahl ist ohne Rest durch 100 teilbar.
• Ist jedoch die Jahreszahl auch durch 400 ohne Rest teilbar, so ist das Jahr trotz der zweiten Regel ein Schaltjahr.

Zur Begriffsklärung: jeder Planet hat seine eigene Bahn, das wird auch am 5.5.2000 nicht anders sein. Es geht aber darum, dass Merkur, Venus, (Mars) Jupiter und Saturn (mit viel gutem Willen gesagt) auf einer Geraden aufgereiht erscheinen. Diese Stellung ist aber nicht besonders exakt und hat ausser einem gewissem ästethischen Reiz keinerlei naturwissenschaftliche Bedeutung, d.h. keine Katastrophen, Bahnwechsel oder ähnliche Dinge. Bedenken Sie, das selbst Jupiter nur 1/1000 der Masse der Sonne aufweist, die anderen sind noch viel leichter. Die gegenseitigen Einflüsse der Planeten aufeinander stellen nur kleine pedantische Korrekturen der ungestörten Bahn um die Sonne dar und sind ausserdem schon für Jahrhunderte im Voraus mit höchster Zuverlässigkeit berechnet.

Häufigkeit: Jupiter überholt Saturn alle ca. 20 Jahre, dann stehen für vielleicht etwa ein Jahr die beiden und die Sonne so mehr oder weniger auf einer Geraden, irgendwann im Jahr werden sich dann noch zwei oder mehr der wesentlich schneller um die Sonne laufenden Planeten Merkur, Venus, Erde und Mars in der Nahe dieser Gerade aufhalten.

Mit unserm Java-Applet können sie selber ein Bisschen rumprobieren, bzw. sich das Sonnensystem für das fragliche Datum zeichnen lassen.

Ein Ereignis, das die Astrologie bereits ins Auge gefasst hat, findet im Mai 2000 Statt, alle klassischen Planeten sind (wenn man es grosszügig betrachtet) auf einer Linie.

Zur Häufigkeit. Jupiter überholt Saturn alle 20 Jahre, doch müssen sie selbst mit den Umlaufzeiten spielen und wie beim Saros nach mehr oder weniger periodischen Wiederholungen suchen. Einziger sarosähnlicher Zyklus der mir in den Sinn kommt: Ein Venustransit vor der Sonnenscheibe wiederholt sich alle 8, 105.5, 8, 121.5, 8, 105.5, 8, 121.5,... Jahre.

Das Problem an der Geschichte ist, dass es doch einige Formeln sind. Auf und Untergangszeiten müssen iterativ berechnet werden, es gibt keine geschlossene Formel. Wenn's etwas kosten darf, dann würde ich das Buch von

Oliver Montenbruck, Thomas Pfleger
Astronomie mit dem Personal Computer
2. Auflage
Springer-Verlag
ISBN 3-540-57701-7
mit Diskette (Turbo-Pascal)